GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Perkolationstheorie</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Perkolationstheorie</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Perkolationstheorie (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> percolare ‚durchsickern‘) ist ein Teilgebiet der <a href="Stochastik" title="Stochastik">Stochastik</a> und der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a> und beschreibt das Ausbilden <a href="Zusammenhang_von_Graphen" class="mw-redirect" title="Zusammenhang von Graphen">zusammenhängender</a> Gebiete (<a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a>) bei <a href="Zufall" title="Zufall">zufallsbedingtem</a> Besetzen von Strukturen (<a href="Gitter_(Mathematik)" title="Gitter (Mathematik)">Gittern</a>).

Die Perkolationstheorie eignet sich zur Modellierung physikalischer Phänomene, die bei <a href="Phasen%C3%BCbergang" title="Phasenübergang">Phasenübergängen</a> entstehen. Des Weiteren eignet sie sich zur Beschreibung der <a href="Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit" title="Elektrische Leitfähigkeit">elektrischen Leitfähigkeit</a> von <a href="Legierung" title="Legierung">Legierungen</a>, der Ausbreitung von <a href="Epidemie" title="Epidemie">Epidemien</a> und <a href="Waldbrand" title="Waldbrand">Waldbränden</a>, sowie zur Beschreibung von <a href="Wachstumsmodell" class="mw-redirect" title="Wachstumsmodell">Wachstumsmodellen</a>. In der <a href="Geologie" title="Geologie">Geologie</a> und <a href="Hydrologie" title="Hydrologie">Hydrologie</a> beschreibt die Perkolation einfache Modelle zur Ausbreitung von <a href="Fl%C3%BCssigkeit" title="Flüssigkeit">Flüssigkeiten</a> in <a href="Por%C3%B6s" class="mw-redirect" title="Porös">porösem</a> Gestein (siehe <a href="Perkolation_(Technik)" title="Perkolation (Technik)">Perkolation (Technik)</a>), die als anschauliche Beispiele der unten beschriebenen Clusterbildung dienen. Unterarten sind die Punktperkolation, bei der Gitterpunkte mit einer bestimmten <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> besetzt werden, und die Kantenperkolation, bei der besetzte Punkte untereinander verbunden werden. Man kann sich beliebige zufällig erzeugte Objekte, z. B. Tröpfchen, vorstellen, die untersucht werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Perkolation ist ein <a href="Zufallsgraph" title="Zufallsgraph">zufälliger Teilgraph</a> eines Graphen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {V} ,\mathbb {E} )}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {V} ,\mathbb {E} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/110a545c7cde2b5b1d399740d5aedb59d3a89cb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.978ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {V} ,\mathbb {E} )}" loading="lazy">, genannt Referenzgraph, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {V} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {V} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff4ef4769e1c31b86792140f48d99ba83ebd2358.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {V} }" loading="lazy"> eine abzählbare Menge von Knoten bezeichnet und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {E} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {E} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad9faf1fd4a61d36d7f8a2f3204f3805a43c0d4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {E} }" loading="lazy"> die abzählbare Menge der Kanten. Man unterscheidet zwischen einer Verbindungs-Perkolation (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> bond percolation) und einer Orts-Perkolation (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> site percolation).

Die Verbindungs-Perkolation entsteht durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega :\mathbb {E} \to \{0,1\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega :\mathbb {E} \to \{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74714274516bac63a03f3eaa8be890d3e2d1fbe4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega :\mathbb {E} \to \{0,1\}}" loading="lazy">, die jeder Kante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in \mathbb {E} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in \mathbb {E} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6da333a89244a65e6691969cdbdfd086719f91cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.474ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in \mathbb {E} }" loading="lazy"> entweder den Zustand

<ul><li>offen (auch besetzt genannt) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (e)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (e)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cdd5a98f64194e85e06d0ab52d1fad441386fc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (e)=1}" loading="lazy"> oder</li>

<li>geschlossen (auch leer genannt) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (e)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (e)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f590fb623fc9e78b91166ec323586ef7a16ffc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (e)=0}" loading="lazy"></li></ul>

zuweist. Die Verbindungs-Perkolation wird daher auch als Kanten-Perkolation bezeichnet.

Die Orts-Perkolation entsteht durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega :\mathbb {V} \to \{0,1\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega :\mathbb {V} \to \{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7e4cd6b247d59e8d70993e5a06294b65a829320.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega :\mathbb {V} \to \{0,1\}}" loading="lazy">, die jedem Knoten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\in \mathbb {V} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\in \mathbb {V} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62f0aae3f207366f4067606e6df48a69003c82fe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.646ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v\in \mathbb {V} }" loading="lazy"> entweder den Zustand

<ul><li>offen / besetzt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (v)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (v)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c226460f04d9db9bc704f0dfdf7346b9f5daa363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (v)=1}" loading="lazy"> oder</li>

<li>geschlossen / leer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (v)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (v)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1601a5b5ab35a7d46cc14689fcc3c4e44af46b60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.644ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (v)=0}" loading="lazy"></li></ul>

zuweist. Die Orts-Perkolation wird daher auch als Knoten-Perkolation bezeichnet.<a href="#cite_note-duminil-copin-1">[1]</a>

Die Perkolations-Konfiguration ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =(\omega (e))_{e\in \mathbb {E} }\in \{0,1\}^{\mathbb {E} }.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf18a41fd0a5e55d0d3cc8c2ce5878b34eada16d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.383ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \omega =(\omega (e))_{e\in \mathbb {E} }\in \{0,1\}^{\mathbb {E} }.}" loading="lazy"></dd></dl>

Der resultierende Zufallsgraph bildet eine Sammlung von <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Clustern</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bernoulli-Perkolation">Bernoulli-Perkolation</h3></div>

Das einfachste Modell ist die Bernoulli-Perkolation von Broadbent und <a href="John_Hammersley" title="John Hammersley">Hammersley</a> (1957<a href="#cite_note-2">[2]</a>). Die <a href="Wahrscheinlichkeitsfunktion" title="Wahrscheinlichkeitsfunktion">Wahrscheinlichkeitsfunktion</a> folgt dabei einer <a href="Bernoulli-Verteilung" title="Bernoulli-Verteilung">Bernoulli-Verteilung</a>, das heißt, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> (respektive <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy">) gilt, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (e)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (e)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cdd5a98f64194e85e06d0ab52d1fad441386fc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (e)=1}" loading="lazy"> tritt mit Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega (e)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (e)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f590fb623fc9e78b91166ec323586ef7a16ffc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega (e)=0}" loading="lazy"> mit Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> ein.

Als Referenzgraphen wählt man dabei ein <a href="Gitter_(Mathematik)" title="Gitter (Mathematik)">Gitter</a> wie zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {Z} ^{d},E)}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {Z} ^{d},E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b8f9e794e7b536d6444241276c08a0958da214c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.168ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {G} =(\mathbb {Z} ^{d},E)}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\{\{x,y\}\in \mathbb {Z} ^{d}:\|x-y\|=1\}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\{\{x,y\}\in \mathbb {Z} ^{d}:\|x-y\|=1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19257b97035f210520a3b507e412a4326c8dfac1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.375ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E=\{\{x,y\}\in \mathbb {Z} ^{d}:\|x-y\|=1\}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-duminil-copin-1">[1]</a>

Wir notieren mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\to n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\to n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcbcbb097b06a8755d40051fd92cc6329b96ea45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.171ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0\to n}" loading="lazy"> einen zusammenhängenden Pfad der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">, der im Ursprung startet. Dann notiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{n}(p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{n}(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e1cab8ec2bca2cfdea316c295c967653144a381.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.288ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \theta _{n}(p)}" loading="lazy"> die Wahrscheinlichkeit

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{n}(p):=\mathbb {P} _{p}(0\to n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1b046f77371e4a2ddbe0d5f492ffe666ecb8661.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.493ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \theta _{n}(p):=\mathbb {P} _{p}(0\to n)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die unendliche Verbindung wird oft als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta (p):=\theta _{\infty }(p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta (p):=\theta _{\infty }(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13d0e73ebffc63ca2dc9ab68cff237252076056d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \theta (p):=\theta _{\infty }(p)}" loading="lazy"> notiert.<a href="#cite_note-duminil-copin-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kritische_Wahrscheinlichkeit">Kritische Wahrscheinlichkeit</h3></div>

Für Bernoulli-Perkolationen auf transitiven unendlichen Graphen existiert eine kritische Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}:=p_{c}(\mathbb {G} )\in [0,1]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}:=p_{c}(\mathbb {G} )\in [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/770367f464dd68ac47068d45b41fe9ff59d0e85c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:19.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{c}:=p_{c}(\mathbb {G} )\in [0,1]}" loading="lazy">, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein unendlicher zusammenhängender Teilgraph existiert, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> ist, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d76bab5ed4bb30516254606d48093c29a5d4e0b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p>p_{c}}" loading="lazy">, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae01f4b788571c65ecd1cf5487030f148c3ec84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{c}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-duminil-copin-1">[1]</a>

Die Region <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,p_{c})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,p_{c})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6437a46fe2c5cb198585aa7836f47ee6bbc3a8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,p_{c})}" loading="lazy"> bezeichnet man als subkritische Region und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p_{c},1]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p_{c},1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b7919d42ef861f8cb16c5d081cfce9f81506042.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p_{c},1]}" loading="lazy"> als superkritische Region.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erläuterungen">Erläuterungen</h3></div>

Es werden auch <a href="Kombination_(Kombinatorik)" title="Kombination (Kombinatorik)">Kombinationen</a> von beiden Arten der Perkolation untersucht. Seit 1957 spielen <a href="Computersimulation" title="Computersimulation">Computersimulationen</a> eine entscheidende Rolle in der Perkolationstheorie. Obwohl viele interessante Größen heute genau bekannt sind, lieferten Simulationen in vielen Fällen die notwendige Intuition, um sie zu bestimmen, und die meisten interessanten Größen sind immer noch nur durch <a href="Simulation" title="Simulation">Simulationen</a> insgesamt zugänglich. Perkolationsmodelle können in einer Vielzahl verschiedener Systeme verwendet werden.<a href="#cite_note-:0-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Historisch geht die Perkolationstheorie (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> percolation theory) auf <a href="Paul_John_Flory" class="mw-redirect" title="Paul John Flory">Paul Flory</a> und <a href="Walter_H._Stockmayer" title="Walter H. Stockmayer">Walter H. Stockmayer</a> zurück, welche die Flory-Stockmayer-Theorie in den 1940er Jahren entwickelten, um <a href="Polymerisation" title="Polymerisation">Polymerisationsprozesse</a> bei der <a href="Gelierung" class="mw-redirect" title="Gelierung">Gelierung</a> zu beschreiben. Der Polymerisationsprozess kommt durch das Aneinanderreihen von Molekülen zustande, die dadurch <a href="Makromolek%C3%BCl" title="Makromolekül">Makromoleküle</a> bilden. Der Verbund solcher Makromoleküle führt zu einem Netzwerk von Verbindungen, die sich durch das ganze System ziehen können. Broadbent und Hammersley führten das moderne Konzept der Perkolation ein.<a href="#cite_note-BroadbentHammersley2008-4">[4]</a> Ein anderes Modell zur Beschreibung von <a href="Zufallsgraph" title="Zufallsgraph">Zufallsgraphen</a> ist das Erdős–Rényi-Modell.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modellbildung">Modellbildung</h2></div>

Perkolationen werden auf <a href="Gittermodell" title="Gittermodell">Gittern modelliert</a>, wobei <a href="Kristallgitter" class="mw-redirect" title="Kristallgitter">Kristallgitter</a> Interpretationen mathematischer Gitter sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Knotenperkolation_(site_percolation)">Knotenperkolation (site percolation)</h3></div>

Allgemein lässt sich ein einfaches Modell für die „Knoten-“ oder „Platzperkolation“ konstruieren:

Die Felder eines <a href="Zweidimensional" class="mw-redirect" title="Zweidimensional">zweidimensionalen</a> <a href="Quadratgitter" title="Quadratgitter">Quadratgitters</a> werden mit einer bestimmten <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> besetzt. Ob ein Feld besetzt wird oder leer bleibt, ist unabhängig von der Besetzung aller anderen Felder. Des Weiteren wird das Gitter als so groß angenommen, dass Randeffekte vernachlässigt werden können, und ist im Idealfall unendlich groß. Abhängig von der gegebenen Verteilung werden sich Gruppen auf dem Gitter bilden, d. h. besetzte Felder in unmittelbarer Nachbarschaft. Diese Gruppen – als <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> bezeichnet – werden umso größer sein, je größer die Wahrscheinlichkeit zur Besetzung eines Feldes ist. Die Perkolationstheorie beschäftigt sich nun mit Eigenschaften wie Größe oder Anzahl dieser Cluster.

Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Feld besetzt ist, so bilden sich mit dem Ansteigen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> größere <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> aus. Die Perkolationsschwelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/836639c3805ca867b1ff24dc6db7a6b24fc69158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{c}}" loading="lazy"> ist definiert als der Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, bei dem mindestens ein Cluster eine Größe erreicht, dass er sich durch das gesamte System erstreckt, also eine Ausdehnung auf dem Gitter von der rechten zur linken und von der oberen zur unteren Seite hat. Man sagt: „Der Cluster perkoliert durch das System.“

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kantenperkolation_(bond_percolation)">Kantenperkolation (bond percolation)</h3></div>

Das Gegenstück dazu wird „Kantenperkolation“ (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> bond percolation) genannt.

Ein Gitter, z. B. oben genanntes <a href="Quadratgitter" title="Quadratgitter">Quadratgitter</a>, ist vollständig besetzt und von jedem Feld des Gitters bestehen vier Verbindungen zu den jeweils vier Nachbarfeldern. Nun ist mit einer <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> eine Verbindung zu einem Nachbarfeld geöffnet und mit einer Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> die Verbindung geschlossen. Diese Art der Perkolation lässt sich gut mit dem oben genannten Modell in der Geologie vergleichen: Die Hohlräume in einem porösen Gestein sind mit Wasser gefüllt und durch ein <a href="Netzwerk" title="Netzwerk">Netzwerk</a> von Kanälen verbunden; mit einer Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> besteht ein Kanal zwischen zwei nächsten Nachbarn und mit einer Wahrscheinlichkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> besteht keiner.

Ein <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> ist dann definiert als Gruppe von Gitterplätzen, die durch offene Kanäle verbunden sind. Auch hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/836639c3805ca867b1ff24dc6db7a6b24fc69158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{c}}" loading="lazy"> wieder die Perkolationsschwelle, und für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d76bab5ed4bb30516254606d48093c29a5d4e0b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p>p_{c}}" loading="lazy"> gibt es einen Cluster, der durch das gesamte System perkoliert, während ein solcher Cluster bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae01f4b788571c65ecd1cf5487030f148c3ec84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{c}}" loading="lazy"> nicht existiert. Die Perkolationsschwelle ist bei der Kantenperkolation niedriger als bei Systemen, welche sich entsprechend der Knotenperkolation verhalten. Das gilt für alle Gittertypen.

<th>Gittertyp<a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[6]</a>

</th>

<th>Knotenperkolationsschwelle

</th>

<th>Kantenperkolationsschwelle

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Sechseckgitter" class="mw-redirect" title="Sechseckgitter">Sechseckgitter</a>

</td>

<td>0,6962

</td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Quadratgitter" title="Quadratgitter">Quadratgitter</a>

</td>

<td>0,592746

</td>

<td>0,5

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Dreiecksgitter" class="mw-redirect" title="Dreiecksgitter">Dreiecksgitter</a>

</td>

<td>0,5

</td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Diamantgitter" class="mw-redirect" title="Diamantgitter">Diamantgitter</a>

</td>

<td>0,43

</td>

<td>0,388

</td></tr>

<tr>

<td>einfach <a href="Kubisches_Gitter" class="mw-redirect" title="Kubisches Gitter">kubisches Gitter</a>

</td>

<td>0,3116

</td>

<td>0,2488

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>0,246

</td>

<td>0,1803

</td></tr>

<tr>

</td>

<td>0,198

</td>

<td>0,119

</td></tr>

<tr>

<td>Hyperkubisches Gitter (4d)

</td>

<td>0,197

</td>

<td>0,1601

</td></tr>

<tr>

<td>Hyperkubisches Gitter (5d)

</td>

<td>0,141

</td>

<td>0,1182

</td></tr>

<tr>

<td>Hyperkubisches Gitter (6d)

</td>

<td>0,107

</td>

<td>0,0942

</td></tr>

<tr>

<td>Hyperkubisches Gitter (7d)

</td>

<td>0,089

</td>

<td>0,0787

</td></tr></tbody></table>

Ein <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> der Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> entsteht, wenn benachbarte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> Plätze nebeneinander besetzt sind, die von zwei leeren Plätzen begrenzt werden. Wenn die Größe des Clusters gegen unendlich geht, können die Effekte der Ränder ignoriert werden. Die <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, dass ein Platz auf der linken Seite des Clusters besetzt ist, ist dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{s}(p)=(1-p)^{2}\cdot p^{s}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{s}(p)=(1-p)^{2}\cdot p^{s}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e15388b574f79dd876d863f8edb65d6b32d98ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.363ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle n_{s}(p)=(1-p)^{2}\cdot p^{s}}" loading="lazy">.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae01f4b788571c65ecd1cf5487030f148c3ec84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{c}}" loading="lazy"> ist die <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, dass ein beliebiger Platz zu einem endlichen <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> gehört, gleich der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">, dass der Platz besetzt ist. Weil die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Platz zu einem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">-Cluster gehört, gegeben ist durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\cdot n_{s}(p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\cdot n_{s}(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e7d6febc03bd9c9a5164bf3426fd30d354a88e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.146ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\cdot n_{s}(p)}" loading="lazy">, erhält man für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae01f4b788571c65ecd1cf5487030f148c3ec84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{c}}" loading="lazy"> mithilfe der <a href="Geometrische_Reihe" title="Geometrische Reihe">geometrische Reihe</a>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot (1-p)^{2}\cdot p^{s}=(1-p)^{2}\cdot \sum _{s=1}^{\infty }p\cdot {\frac {d(p^{s})}{dp}}=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left(\sum _{s=1}^{\infty }p^{s}\right)=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left({\frac {p}{1-p}}\right)=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0372dc68b1625bfc273cd8c83f670842164e8dc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:123.243ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot (1-p)^{2}\cdot p^{s}=(1-p)^{2}\cdot \sum _{s=1}^{\infty }p\cdot {\frac {d(p^{s})}{dp}}=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left(\sum _{s=1}^{\infty }p^{s}\right)=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left({\frac {p}{1-p}}\right)=p}" loading="lazy">,</dd></dl>

also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ae598de23de71a9b7ad0d759ecbb51f805fa640.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.156ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}" loading="lazy">. Für die mittlere Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/433ae27e87adabe259edf4777bd53d84243c6192.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.478ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(p)}" loading="lazy"> des Clusters ergibt sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(p)={\frac {1+p}{1-p}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(p)={\frac {1+p}{1-p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4c037833fee1a4cffaa212e5d0b2ef4154066aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.585ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle S(p)={\frac {1+p}{1-p}}}" loading="lazy">.

Die Stärke <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/273e3dce2aa2b8f6e5aeb78f43a37ea906886a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.724ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(p)}" loading="lazy"> des unendlichen <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Clusters</a> ist die <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, dass ein beliebiger Platz zum Cluster gehört. Die Stärke misst, wie groß der Anteil der Plätze des unendlichen Gitters ist, die zum unendlichen Cluster gehören, und wird Ordnungsparameter (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> order parameter) genannt. Das Phänomen, dass der <a href="Ordnungsparameter" title="Ordnungsparameter">Ordnungsparameter</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d76bab5ed4bb30516254606d48093c29a5d4e0b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p>p_{c}}" loading="lazy"> größer als 0 wird, ist als Phasenübergang bekannt und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/836639c3805ca867b1ff24dc6db7a6b24fc69158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{c}}" loading="lazy"> wird als kritische Besetzungswahrscheinlichkeit (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> critical occupation probability) bezeichnet.

Ein besetzter Platz gehört entweder zum unendlichen <a href="Cluster_(Datenanalyse)" title="Cluster (Datenanalyse)">Cluster</a> oder zu einem endlichen Cluster. Daher gilt

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(p)+\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3fcdab5ebf4a17e97f68dfdd1413760cc9ee222.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:23.721ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle P(p)+\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">. Daraus folgt

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(p)=p-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p_{c}-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+(p-p_{c})=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p_{c})-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+O(p-p_{c})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b1dd21dec5499c806d9b4882d9ccc354e9e8ceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:97.641ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle P(p)=p-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p_{c}-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+(p-p_{c})=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p_{c})-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+O(p-p_{c})}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(p-p_{c})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(p-p_{c})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e93514c5e3ec8db2d4997298469394ef16c0c3ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.706ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(p-p_{c})}" loading="lazy"> ist höchstens von der Größenordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p-p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p-p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a798d16ed9486c3d0d3e45543669b11d6e822987.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.213ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p-p_{c}}" loading="lazy"> (siehe <a href="Landau-Symbole" title="Landau-Symbole">Landau-Symbole</a>). Die Summe läuft über alle endlichen Clustergrößen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> und schließt das unendliche Cluster aus. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p<p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p<p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae01f4b788571c65ecd1cf5487030f148c3ec84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:6.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p<p_{c}}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(p)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(p)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b71b2ed5ee4f70c4505f642f41e582480e5ea9e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.985ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(p)=0}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gerichtete_Perkolation">Gerichtete Perkolation</h3></div>

Die gerichtete Perkolation (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> directed percolation) lässt sich anschaulich mit einer Kaffeemaschine (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> coffee percolator) oder porösem Gestein erklären.

Anhand der Kantenperkolation wird der Unterschied zwischen „normaler“ bzw. <a href="Isotrop" class="mw-redirect" title="Isotrop">isotroper</a> Perkolation und der gerichteten Perkolation klar.

Wenn Wasser auf ein poröses Medium gegossen wird, stellt sich die Frage, ob das Medium durchdrungen werden kann, d. h., ob es einen Kanal von der Oberseite zur Unterseite des Mediums gibt, oder ob das Wasser vom Medium <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">absorbiert</a> wird. Die <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, dass das Wasser auf einen offenen Kanal trifft, ist wie bei einer isotropen Perkolation gegeben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy">. Im Gegensatz zur isotropen Perkolation existiert jedoch eine gegebene Vorzugsrichtung: Wasser in porösem Gestein und ebenso in der Kaffeemaschine bewegt sich in die Richtung, die durch die <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a> bestimmt wird. Die Perkolationsschwelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/836639c3805ca867b1ff24dc6db7a6b24fc69158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{c}}" loading="lazy"> ist bei der gerichteten Perkolation größer als bei der isotropen Perkolation.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mikrokanonisches_und_kanonisches_Ensemble">Mikrokanonisches und kanonisches Ensemble</h3></div>

Um Finite-Size-Effekte und den Phasenübergang zu studieren, müssen die betreffenden Observables für einen großen Bereich der <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> bestimmt werden, wenn nicht für eine kontinuierliche <a href="Nachbarschaft_(Graphentheorie)" title="Nachbarschaft (Graphentheorie)">Nachbarschaft</a> der Mindestwahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{c}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{c}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/836639c3805ca867b1ff24dc6db7a6b24fc69158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.203ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{c}}" loading="lazy"> des gesamten <a href="Einheitsintervall" class="mw-redirect" title="Einheitsintervall">Einheitsintervalls</a>. Diese Aufgabe kann erheblich vereinfacht werden, indem man vom kanonischen zum mikrokanonischen Ensemble wechselt.

Wenn jede der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> Kanten des Gitters mit <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> besetzt ist und mit Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> leer ist, spricht man auch von einem kanonischen Ensemble. Wenn genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Kanten des Gitters besetzt sind, spricht man auch von einem mikrokanonischen Ensemble. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4007e08239424693d368237cd4e460423e8865f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.817ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(p)}" loading="lazy"> ein Observable im kanonischen Ensemble ist, dann wird das entsprechende Observable im mikrokanonischen Ensemble mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/503d0af3998f76cd4eaf8b3cc5e8834e254cb71b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.057ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q_{n}}" loading="lazy"> bezeichnet. Das gewünschte Observable kann durch eine <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> mit der <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a> erhalten werden. Diese kann wie folgt geschrieben werden:

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(p)=\sum _{n=0}^{N}{\binom {N}{n}}\cdot p^{n}\cdot (1-p)^{N-n}\cdot Q_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39e6aa5beab9d1b01770cf72969d4cb447e5ecb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.562ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle Q(p)=\sum _{n=0}^{N}{\binom {N}{n}}\cdot p^{n}\cdot (1-p)^{N-n}\cdot Q_{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

Unter Verwendung des mikrokanonischen Ensembles ist es somit möglich, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(p)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4007e08239424693d368237cd4e460423e8865f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.817ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(p)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> auf einmal zu bestimmen und dies, indem nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf2b9cbfe9051fd4e7b50c8028866d497eac35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.066ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N+1}" loading="lazy"> Werte gemessen werden.<a href="#cite_note-:0-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_in_der_Epidemiologie">Anwendung in der Epidemiologie</h2></div>

Für die Anwendung in der <a href="Epidemiologie" title="Epidemiologie">Epidemiologie</a> kann man sich für den Erreger empfängliche Individuen als Knoten und Kontakt zwischen den Individuen als Kanten vorstellen. Ab einer bestimmten <a href="Populationsdichte" title="Populationsdichte">Populationsdichte</a>, wenn es genügend Kontakte zwischen den Individuen gibt, würde die Perkolationsschwelle überschritten, sich also große, zusammenhängende <a href="Cluster_(Epidemiologie)" title="Cluster (Epidemiologie)">Cluster</a> bilden, die zu einer Ausbreitung des Erregers auf größere Bereiche der Population führen. Empirisch wurde die Existenz einer solchen Perkolationsschwelle anhand der <a href="Gro%C3%9Fe_Rennmaus" title="Große Rennmaus">Großen Rennmaus</a> gezeigt, deren Kolonien unterschiedliche Populationsdichten aufweisen.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen_im_Alltag">Anwendungen im Alltag</h2></div>

Im täglichen Leben kommen viele perkolationsartige Phasenübergänge vor, z. B. das „Puddingproblem“ (<a href="Gel" title="Gel">Gel</a>-Bildung<a href="#cite_note-10">[10]</a>), das „Sahnesteif-Problem“ und das Problem der „Verklumpung“. In allen Fällen geht die Wirkung erst bei Überschreiten eines <a href="Kritischer_Wert_(Statistik)" title="Kritischer Wert (Statistik)">kritischen Wertes</a> des ursächlichen <a href="Parameter_(Statistik)" title="Parameter (Statistik)">Parameters</a> gegen das erwünschte oder unerwünschte Maximum, und zwar meist nach einem <a href="Potenzfunktion" title="Potenzfunktion">Potenzgesetz</a> mit einem <a href="Kritischer_Exponent" title="Kritischer Exponent">kritischen Exponenten</a>, wobei die maximale Wirkung bei Überschreiten des kritischen Wertes zunächst sehr rasch ansteigt. Durch chemische Zusätze, etwa Pudding- oder „Sahnesteif“-Pulver, kann man den kritischen Wert herabsetzen, ohne allerdings das Prinzip zu ändern.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Kristallsystem" title="Kristallsystem">Kristallsystem</a></li>

<li><a href="Skalenfreies_Netz" title="Skalenfreies Netz">Skalenfreies Netz</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Paul_Flory" title="Paul Flory">P. J. Flory</a>: Thermodynamics of High Polymer Solutions. In: Journal of Chemical Physics. 9, Nr. 8, August 1941, S. 660.</li>

<li><a href="Paul_Flory" title="Paul Flory">P. J. Flory</a>: Thermodynamics of high polymer solutions. In: J. Chem. Phys. Band 10, 1942, S. 51–61.</li>

<li><a href="Walter_H._Stockmayer" title="Walter H. Stockmayer">W. H. Stockmayer</a>: Theory of molecular size distribution and gel formation in branched polymers. In: J. Chem. Phys. Band 11, 1943, S. 45–55.</li>

<li><a href="Dietrich_Stauffer" title="Dietrich Stauffer">D. Stauffer</a>, <a href="Amnon_Aharony" title="Amnon Aharony">A. Aharony</a>: Introduction to Percolation Theory. Taylor and Fransis, London 1994.</li>

<li>D. Achlioptas u. a.: Explosive Percolation in Random Networks. In: Science. 2009.</li>

<li><a href="Armin_Bunde" title="Armin Bunde">A. Bunde</a>, H. E. Roman: Gesetzmäßigkeiten der Unordnung. In: Physik in unserer Zeit. Band 27, 1996, S. 246–256.</li>

<li><a href="Vincent_Beffara" title="Vincent Beffara">Vincent Beffara</a>, Vladas Sidoravicius: Percolation. In: Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, 2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://arxiv.org/abs/math/0507220">Arxiv</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-duminil-copin-1">↑ <a href="#cite_ref-duminil-copin_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-duminil-copin_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-duminil-copin_1-2">c</a> <a href="#cite_ref-duminil-copin_1-3">d</a> Hugo Duminil-Copin: <cite style="font-style:italic">Sixty years of percolation</cite>. Hrsg.: arXiv. 2017, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.48550/ARXIV.1712.04651">10.48550/ARXIV.1712.04651</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1712.04651">1712.04651 [abs]</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Perkolationstheorie&rft.au=Hugo+Duminil-Copin&rft.btitle=Sixty+years+of+percolation&rft.date=2017&rft.doi=10.48550%2FARXIV.1712.04651&rft.genre=book" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Simon Broadbent und John Hammersley: <cite style="font-style:italic">Percolation processes I. Crystals and mazes</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 53, Nr. 3, 1957, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220305-0041%22&key=cql">0305-0041</a>, S. 629–641, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100032680">10.1017/S0305004100032680</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Perkolationstheorie&rft.atitle=Percolation+processes+I.+Crystals+and+mazes&rft.au=Simon+Broadbent+und+John+Hammersley&rft.date=1957&rft.doi=10.1017%2FS0305004100032680&rft.genre=journal&rft.issn=0305-0041&rft.issue=3&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=629-641&rft.volume=53" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:0-3">↑ <a href="#cite_ref-:0_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_3-1">b</a> Universität Bonn, Jan Hasenbusch, Matthias Wilhelm, : <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.hiskp.uni-bonn.de/uploads/media/percolation.pdf">Project in Computational Physics, Percolation</a>

</li>

<li id="cite_note-BroadbentHammersley2008-4"><a href="#cite_ref-BroadbentHammersley2008_4-0">↑</a> S. R. Broadbent, J. M. Hammersley: <cite style="font-style:italic">Percolation processes</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</cite>. Band 53, Nr. 3, 2008, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220305-0041%22&key=cql">0305-0041</a>, S. 629, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/S0305004100032680">10.1017/S0305004100032680</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Perkolationstheorie&rft.atitle=Percolation+processes&rft.au=S.+R.+Broadbent%2C+J.+M.+Hammersley&rft.date=2008&rft.doi=10.1017%2FS0305004100032680&rft.genre=journal&rft.issn=0305-0041&rft.issue=3&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=629&rft.volume=53" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Werte entnommen aus uni-stuttgart.de, Skript (27. April 2005): <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20040921192308/http://www.ica1.uni-stuttgart.de/Courses_and_Lectures/Simulationsmethoden/skript.pdf">Simulationsmethoden</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 21. September 2004 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (PDF; 1,3 MB), S. 41–52.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Humboldt-Universität zu Berlin: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.physik.hu-berlin.de/~sokolov/STAT18/Percolation.pdf">Notes on percolation theory</a>

</li>

<li id="cite_note-SykesEssam-7">↑ <a href="#cite_ref-SykesEssam_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-SykesEssam_7-1">b</a> M. F. Sykes, J. W. Essam: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Journal of Mathematical Physics</cite>. Band 5, Nr. 8, 1964, S. 1117–1127, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1063/1.1704215">10.1063/1.1704215</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1964JMP.....5.1117S">1964JMP.....5.1117S</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.bme.hu/~balint/oktatas/perkolacio/percolation_papers/sykes_essam.pdf">bme.hu</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Perkolationstheorie&rft.atitle=Exact+critical+percolation+probabilities+for+site+and+bond+problems+in+two+dimensions&rft.au=M.+F.+Sykes%2C+J.+W.+Essam&rft.date=1964&rft.doi=10.1063%2F1.1704215&rft.genre=journal&rft.issue=8&rft.jtitle=Journal+of+Mathematical+Physics&rft.pages=1117-1127&rft.volume=5" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Dr. Kim Christensen, Imperial College London: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.mit.edu/ceder/publications/Percolation.pdf">Percolation Theory</a>

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> S. Davis, P. Trapman, H. Leirs, M. Begon, J. a. P. Heesterbeek: <cite style="font-style:italic">The abundance threshold for plague as a critical percolation phenomenon</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Nature</cite>. Band 454, Nr. 7204, Juli 2008, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221476-4687%22&key=cql">1476-4687</a>, S. 634–637, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1038/nature07053">10.1038/nature07053</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nature.com/articles/nature07053">nature.com</a> [abgerufen am 10. September 2020]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Perkolationstheorie&rft.atitle=The+abundance+threshold+for+plague+as+a+critical+percolation+phenomenon&rft.au=S.+Davis%2C+P.+Trapman%2C+H.+Leirs%2C+...&rft.date=2008-07&rft.doi=10.1038%2Fnature07053&rft.genre=journal&rft.issn=1476-4687&rft.issue=7204&rft.jtitle=Nature&rft.pages=634-637&rft.volume=454" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Siehe etwa die Dissertation von Markus Lechtenfeld im Fachbereich Chemie der Universität Duisburg, zum Thema Auswertung der rheologischen und optischen Untersuchungen während der Gelierung des Systems Gelatine/Wasser mit Hilfe der Perkolationstheorie. Duisburg 2001, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DocumentServlet?id=5108">(online)</a>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4323583-9">4323583-9</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-04-20" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Perkolationstheorie&oldid=255305012">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>